1.3 二項(xiàng)式定理
1.3.1 二項(xiàng)式定理
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.
2.掌握二項(xiàng)式定理及其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.(重點(diǎn))
3.能解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)的簡單問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
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1.通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).
2.借助二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)公式解題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
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1.二項(xiàng)式定理
(a+b)n=Can+Can-1b+Can-2b2+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*).
(1)這個(gè)公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理.
(2)展開式:等號右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式,展開式中一共有n+1項(xiàng).
(3)二項(xiàng)式系數(shù):各項(xiàng)的系數(shù)C(k∈{0,1,2,…,n})叫做二項(xiàng)式系數(shù).
2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
(a+b)n展開式的第k+1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),記作Tk+1=Can-kbk.
思考1:二項(xiàng)式定理中,項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同嗎,為什么?
[提示] 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念.二項(xiàng)式系數(shù)是指C,C,…,C,它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而與a,b的值無關(guān),而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān).
思考2:二項(xiàng)式(a+b)n與(b+a)n展開式中第k+1項(xiàng)是否相同?
[提示] 不同.(a+b)n展開式中第k+1項(xiàng)為Can-kbk,而(b+a)n展開式中第k+1項(xiàng)為Cbn-kak.

1.(x+1)n的展開式共有11項(xiàng),則n等于( )
A.9 B.10
C.11 D.12
B [由二項(xiàng)式定理的公式特征可知n=10.]
2.C·2n+C·2n-1+…+C·2n-k+…+C等于( )
A.2n B.2n-1
C.3n D.1
C [原式=(2+1)n=3n.]
3.(1+2x)5的展開式的第3項(xiàng)的系數(shù)為________,第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為________.
40 10 [∵T3=C(2x)2=C22x2=40x2,
∴第3項(xiàng)的系數(shù)為40,第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C=10.]

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二項(xiàng)式定理的正用和逆用
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【例1】 (1)求的展開式;
(2)化簡:C(x+1)n-C(x+1)n-1+C(x+1)n-2-…+(-1)kC(x+1)n-k+…+(-1)nC.
[解] (1)法一:=C()4-C()3·+C()2·-C·+C=x2-2x+-+.
法二:==(2x-1)4
=(16x4-32x3+24x2-8x+1)
=x2-2x+-+.
(2)原式=C(x+1)n+C(x+1)n-1(-1)+C(x+1)n-2·(-1)2+…+C(x+1)n-k(-1)k+…+C(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.