第2課時(shí) 組合的綜合應(yīng)用
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.學(xué)會(huì)運(yùn)用組合的概念，分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．(重點(diǎn))
2.能解決無限制條件的組合問題．(難點(diǎn))
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通過組合解決實(shí)際問題，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
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組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)
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【例1】 計(jì)算：(1)C＋C＋C＋…＋C；
(2)(C＋C)÷A.
[思路點(diǎn)撥] (1)利用組合數(shù)的公式及性質(zhì)，逐一進(jìn)行證明或計(jì)算．
(2)中排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的綜合運(yùn)用．
[解] (1)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋C＋…＋C－1
＝…＝C－1＝329.
(2)(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷A＝.
組合數(shù)公式C＝體現(xiàn)了組合數(shù)與相應(yīng)排列數(shù)的關(guān)系，一般在計(jì)算具體的組合數(shù)時(shí)會(huì)用到.組合數(shù)公式C＝的主要作用有：
(1)計(jì)算m，n較大時(shí)的組合數(shù)；
(2)對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和證明.,特別地，當(dāng)m>時(shí)計(jì)算C，用性質(zhì)C＝C轉(zhuǎn)化，減少計(jì)算量.
1．解方程C＝C.
[解] 由原方程及組合數(shù)性質(zhì)可知3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)，解得n＝8或n＝2.而當(dāng)n＝8時(shí)，3n＋6＝30>18，不符合組合數(shù)的定義，故舍去．因此n＝2.
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有限制條件的組合問題
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【例2】 課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？
(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；
(2)至多有兩名女生當(dāng)選；
(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．
[解] (1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩種情況：有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng)，故共有C·C＋C·C＝825種．或采用排除法有C－C＝825種．
(2)至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966種．
(3)分兩種情況：
第一類：女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，有C種；
第二類：女隊(duì)長(zhǎng)不當(dāng)選，
有C·C＋C·C＋C·C＋C種．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790種．
在本例條件下，至多有1名隊(duì)長(zhǎng)被選上的方法有多少種？
[解] 分兩類情況：
第一類：沒有隊(duì)長(zhǎng)被選上，從除去兩名隊(duì)長(zhǎng)之外的11名學(xué)生中選取5人有C＝462種選法．
第二類：一名隊(duì)長(zhǎng)被選上，分女隊(duì)長(zhǎng)被選上和男隊(duì)長(zhǎng)被選上，不同的選法有：C＋C＝660種選法．
所以至多有1名隊(duì)長(zhǎng)被選上的方法有462＋660＝1 122種．
常見的限制條件及解題方法
1．特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)．
2．含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解．
3．分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問題分類表達(dá)，逐類求解．
