第2課時 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的應用
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理．(重點)
2.能根據(jù)具體問題的特征，選擇兩種計數(shù)原理解決一些實際問題．(重、難點)
3.會根據(jù)實際問題的特征，合理地分類或分步．(難點、易混點)
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1.借助兩個計數(shù)原理解題提升數(shù)學運算的素養(yǎng).
2.通過合理地分類或分步解決問題提升邏輯推理的素養(yǎng).
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組數(shù)問題
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【例1】 用0,1,2,3,4五個數(shù)字，
(1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？
(2)可以排成多少個三位數(shù)？
(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？
[解] (1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125種．
(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100種．
(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12種排法；另一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因為0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18種排法．因而有12＋18＝30種排法．即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)．
1．(變結(jié)論)由本例中的五個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的四位奇數(shù)？
[解] 完成“組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個還有3個可任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理共有2×3×3×2＝36個．
2．(變結(jié)論)在本例條件下，能組成多少個能被3整除的四位數(shù)？
[解] 一個四位數(shù)能被3整除，必須各位上數(shù)字之和能被3整除，故組成四位數(shù)的四個數(shù)字只能是0,1,2,3或0,2,3,4兩類．所以滿足題設的四位數(shù)共有2×3×3×2×1＝36個．
解決組數(shù)問題的方法
1．對于組數(shù)問題，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．
2．解決組數(shù)問題，應特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則．
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抽取與分配問題
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【例2】 在7名學生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋．現(xiàn)在從這7人中選2人分別同時參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？
[思路點撥] 本題應先分類，再分步．
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[解] 法一：分四類：第1類，從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，有選法3×2＝6(種)；
第2類，從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，有選法3×2＝6(種)；
第3類，從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽，有選法2×2＝4(種)；
第4類，從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中各選1名分別參加象棋比賽和圍棋比賽，有選法2×1＝2(種)．
故不同的選法共有6＋6＋4＋2＝18(種)．
