第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

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[提升層·題型探究]
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導(dǎo)數(shù)的幾何意義
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【例1】 已知函數(shù)f (x)=x3+x-16.
(1)求曲線y=f (x)在點(2,-6)處的切線方程;
(2)直線l為曲線y=f (x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線l的方程及切點坐標(biāo);
(3)如果曲線y=f (x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點坐標(biāo)與切線的方程.
[解] (1)∵f ′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
∴f (x)在點(2,-6)處的切線的斜率為k=f ′(2)=13.
∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)法一:設(shè)切點為(x0,y0),
則直線l的斜率為f ′(x0)=3x+1,
∴直線l的方程為
y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16.
又∵直線l過點(0,0),
∴0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16.
整理得,x=-8,
∴x0=-2.
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直線l的方程為y=13x,切點坐標(biāo)為(-2,-26).
法二:設(shè)直線l的方程為y=kx,切點為(x0,y0),
則k==,
又∵k=f ′(x0)=3x+1,∴=3x+1.
解得,x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直線l的方程為y=13x,切點坐標(biāo)為(-2,-26).
(3)∵切線與直線y=-+3垂直,
∴切線的斜率k=4.
設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0),
則f ′(x0)=3x+1=4,∴x0=±1.
∴或
即切點為(1,-14)或(-1,-18).
切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.