1.7 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.會(huì)用定積分求平面圖形的面積.(重點(diǎn)、易混點(diǎn))
2.會(huì)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和變力做功.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
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通過(guò)利用定積分求解曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和變力做功的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
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1.定積分與平面圖形面積的關(guān)系
(1)已知函數(shù)f (x)在[a,b]上是連續(xù)函數(shù),由直線y=0,x=a,x=b與曲線y=f (x)圍成的曲邊梯形的面積為S,填表:
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f (x)的符號(hào)
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平面圖形的面積與定積分的關(guān)系
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f (x)≥0
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S=f (x)dx
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f (x)<0
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S=-f (x)dx
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(2)一般地,如圖所示,如果在公共的積分區(qū)間[a,b]上有f (x)>g(x),那么直線x=a,x=b與曲線y=f (x),y=g(x)圍成的平面圖形的面積為S=[f (x)-g(x)]dx.即曲邊梯形的面積等于曲邊梯形上、下兩個(gè)邊界所表示函數(shù)的差的定積分.

2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程
做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即s=v(t)dt.
思考:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移相同嗎?
[提示] 不同.路程是標(biāo)量,位移是矢量,兩者是不同的概念.
3.變力做功
如果物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng),并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b(a<b),那么變力F(x)所做的功為W=F(x)dx.

1.曲線y=x3與直線y=x所圍成的圖形的面積等于( )
A.(x-x3)dx B.(x3-x)dx
C.2(x-x3)dx D.2(x-x3)dx
C [由題意知,由y=x3及y=x所圍成的圖形如圖所示.

顯然S=2(x-x3)dx.]
2.一物體沿直線以v=3t+2(t單位:s,v單位:m/s)的速度運(yùn)動(dòng),則該物體在3~6 s間的運(yùn)動(dòng)路程為( )
A.46 m B.46.5 m
C.87 m D.47 m
B [s=(3t+2)dt=
=(54+12)-=46.5(m).]
3.一物體在力F(x)=4x-1(單位:N)的作用下,沿著與力F(x)相同的方向,從x=1處運(yùn)動(dòng)到x=3處(單位:m),則力F(x)所作的功為________J.
14 [由題意可知,力F(x)所作的功
W=F(x)dx=(4x-1)dx=(2x2-x)=14 J.]