1.6 微積分基本定理
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解導(dǎo)數(shù)與定積分的關(guān)系以及微積分基本定理的含義.(重點、易混點)
2.掌握微積分基本定理,會用微積分基本定理求定積分.(重點、難點)
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1.通過微積分基本定理的學習,體現(xiàn)了數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
2.借助于利用定積分求曲邊梯形的面積,培養(yǎng)學生的數(shù)學運算及直觀想象的核心素養(yǎng).
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1.微積分基本定理
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內(nèi)容
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如果f (x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且F′(x)=f (x),那么f (x)dx=F(b)-F(a).
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符號
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f (x)dx=F(x)=F(b)-F(a).
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思考:滿足F′(x)=f (x)的函數(shù)F(x)唯一嗎?
[提示] 不唯一,如F1(x)=x+1,F2(x)=x+5,…等其導(dǎo)數(shù)為1,故F(x)不唯一.
2.定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系
設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S上,x軸下方的面積為S下.則
(1)當曲邊梯形在x軸上方時,如圖①,則f (x)dx=S上.
(2)當曲邊梯形在x軸下方時,如圖②,則f (x)dx=-S下.
(3)當曲邊梯形在x軸上方、x軸下方均存在時,如圖③,則f (x)dx=S上-S下,若S上=S下,則f (x)dx=0.

圖① 圖② 圖③

1.若a=(x-2)dx,則被積函數(shù)的原函數(shù)為( )
A.f (x)=x-2 B.f (x)=x-2+C
C.f (x)=x2-2x+C D.f (x)=x2-2x
[答案] C
2.cos xdx=________.
1 [cos xdx=sin x=sin -sin 0=1.]
3.如圖所示,定積分f (x)dx的值用陰影面積S1,S2,S3表示為f (x)dx=________.

S1-S2+S3 [根據(jù)定積分的幾何意義知f (x)dx=S1-S2+S3.]

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求簡單函數(shù)的定積分
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【例1】 求下列定積分.
(1)(2x+ex)dx;
(2)dx;
(3) dx;
(4)(x-3)(x-4)dx.
[解] (1)(2x+ex)dx=(x2+ex)=(1+e1)-(0+e0)=e.