1.5 定積分的概念
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解定積分的概念.(難點(diǎn))
2.理解定積分的幾何意義.(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))
3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程,了解“以直代曲”“以不變代變”的思想.(難點(diǎn))
4.能用定積分的定義求簡(jiǎn)單的定積分.(重點(diǎn))
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1.通過曲邊梯形面積和汽車行駛路程及定積分概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.借助定積分的幾何意義及性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng).
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1.曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程
(1)曲邊梯形的面積
①曲線梯形:由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①所示).
②求曲邊梯形面積的方法
把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間,進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形,對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”,即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值,對(duì)這些近似值求和,就得到曲邊梯形面積的近似值(如圖②所示).

圖① 圖②
③求曲邊梯形面積的步驟:分割,近似代替,求和,取極限.
(2)求變速直線運(yùn)動(dòng)的(位移)路程
如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng),速度函數(shù)v=v(t),那么也可以采用分割,近似代替,求和,取極限的方法,求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s.
2.定積分的概念
如果函數(shù)f (x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n)作和式ni=1f (ξi)Δx=ni=1 f (ξi),當(dāng)n→∞時(shí),上述和式無限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f (x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作f (x)dx,即f (x)dx=n→∞∑,\s\up8(n.其中a與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間,函數(shù)f (x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f (x)dx叫做被積式.
思考:f (x)dx是一個(gè)常數(shù)還是一個(gè)變量?f (x)dx與積分變量有關(guān)系嗎?
[提示] 由定義可得定積分f (x)dx是一個(gè)常數(shù),它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限,而與積分變量沒有關(guān)系,即f (x)dx=f (t)dt=f (u)du.
3.定積分的幾何意義與性質(zhì)
(1)定積分的幾何意義
由直線x=a,x=b(a<b),x軸及一條曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S,則有:

① ② ③
①在區(qū)間[a,b]上,若f (x)≥0,則S=f (x)dx,如圖①所示,即f (x)dx=S.
②在區(qū)間[a,b]上,若f (x)≤0,則S=-f (x)dx,如圖②所示,即f (x)dx=-S.
③若在區(qū)間[a,c]上,f (x)≥0,在區(qū)間[c,b]上,f (x)≤0,則S=f (x)dx-f (x)dx,如圖③所示,即(SA,SB表示所在區(qū)域的面積).
(2)定積分的性質(zhì)
①kf (x)dx=kf (x)dx(k為常數(shù));
②[f 1(x)±f 2(x)]dx=f 1(x)dx±f 2(x)dx;
③f (x)dx=f (x)dx+f (x)dx(其中a<c<b).