1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.
2.能利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
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1.通過利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
2.借助實(shí)際問題的求解,提升學(xué)生邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
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1.優(yōu)化問題
生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.
2.用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路

思考:解決生活中優(yōu)化問題應(yīng)注意什么?
[提示] (1)在建立函數(shù)模型時(shí),應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題確定出函數(shù)的定義域.
(2)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí),一定要從問題的實(shí)際意義去考查,不符合實(shí)際意義的應(yīng)舍去,如:長度、寬度應(yīng)大于0,銷售價(jià)為正數(shù)等.

1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位: 萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為( )
A.7萬件 B.9萬件
C.11萬件 D.13萬件
B [設(shè)y=f (x),即f (x)=-x3+81x-234.
故f ′(x)=-x2+81.令f ′(x)=0,即-x2+81=0,
解得x=9或x=-9(舍去).
當(dāng)0<x<9時(shí),f ′(x)>0,函數(shù)y=f (x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>9時(shí),f ′(x)<0,函數(shù)y=f (x)單調(diào)遞減.
因此,當(dāng)x=9時(shí),y=f (x)取最大值.
故使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為9萬件.]
2.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油,需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第x小時(shí),原油溫度(單位:℃)為f (x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是( )
A.8 B. C.-1 D.-8
C [由題意,f ′(x)=x2-2x=(x-1)2-1,
∵0≤x≤5,∴x=1時(shí),f ′(x)的最小值為-1,
即原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是-1.]
3.做一個(gè)容積為256 m3的方底無蓋水箱,所用材料最省時(shí),它的高為( )
A.6 m B.8 m
C.4 m D.2 m
C [設(shè)底面邊長為x m,高為h m,則有x2h=256,所以h=.所用材料的面積設(shè)為S m2,則有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2.S′=2x-,令S′=0,得x=8,因此h==4(m).]
4.某一件商品的成本為30元,在某段時(shí)間內(nèi),若以每件x元出售,可賣出(200-x)件,當(dāng)每件商品的定價(jià)為______元時(shí),利潤最大.
115 [利潤為S(x)=(x-30)(200-x)
=-x2+230x-6 000,S′(x)=-2x+230,
由S′(x)=0,得x=115,這時(shí)利潤達(dá)到最大.]