1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解函數(shù)的最值的概念．(難點)
2.了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點)
3.會用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最值．(重點)
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1.通過函數(shù)最大(小)值存在性的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)直觀想象核心素養(yǎng).
2.借助函數(shù)最值的求解問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
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1．函數(shù)的最大(小)值的存在性
一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f (x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值．
思考：函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？
[提示] 函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值．
函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．
當(dāng)連續(xù)函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個導(dǎo)數(shù)為零的點時，若在這一點處f (x)有極大值(或極小值)，則可以判定f (x)在該點處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無窮區(qū)間．
2．求函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟
(1)求函數(shù)y＝f (x)在(a，b)內(nèi)的極值；
(2)將函數(shù)y＝f (x)的各極值與端點處的函數(shù)值f (a)，f (b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．
1．函數(shù)f (x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．無最值 B．有極值
C．有最大值 D．有最小值
A [f ′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f (x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值，也無最值．]
2．函數(shù)f (x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分別是( )
A．f (2)，f (3) B．f (3)，f (5)
C．f (2)，f (5) D．f (5)，f (3)
B [∵f ′(x)＝－2x＋4，∴當(dāng)x∈[3,5]時，f ′(x)<0，
故f (x)在[3,5]上單調(diào)遞減，故f (x)的最大值和最小值分別是f (3)，f (5)．]
3．已知函數(shù)f (x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f (x)的最小值為1，則m＝________.
1 [f ′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f ′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
當(dāng)x∈(－2,0)時，f ′(x)＜0，
當(dāng)x∈(0,2)時，f ′(x)＞0，
∴當(dāng)x＝0時，f (x)有極小值，也是最小值．
∴f (0)＝m＝1.]
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求函數(shù)的最值
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角度1 不含參數(shù)的函數(shù)最值
【例1】 求下列各函數(shù)的最值．
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈.
[解] (1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
當(dāng)x變化時，f ′(x)，f (x)變化狀態(tài)如下表：
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x
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－2
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(－2，－1)
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－1
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(－1,1)
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1
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(1,2)
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2
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f ′(x)
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＋
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0
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－
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0
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＋
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f (x)
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－1
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↗
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11
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↘
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－1
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↗
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11
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從表中可以看出，當(dāng)x＝－2時或x＝1時，函數(shù)f (x)取得最小值－1.
當(dāng)x＝－1或x＝2時，函數(shù)f (x)取得最大值11.
