1.3.2 函數的極值與導數
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解極大值、極小值的概念．(難點)
2．了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件．(重點、易混點)
3．會用導數求函數的極大值、極小值．(重點)
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1.通過極值點與極值概念的學習，體現了數學抽象的核心素養(yǎng)．
2．借助函數極值的求法，提升學生的邏輯推理、數學運算的核心素養(yǎng).
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1．極值點與極值
(1)極小值點與極小值
若函數y＝f (x)在點x＝a的函數值f (a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f ′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f ′(x)＜0，右側f ′(x)＞0，就把點a叫做函數y＝f (x)的極小值點，f (a)叫做函數y＝f (x)的極小值．
(2)極大值點與極大值
若函數y＝f (x)在點x＝b的函數值f (b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f ′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f ′(x)＞0，右側f ′(x)＜0，就把點b叫做函數y＝f (x)的極大值點，f (b)叫做函數y＝f (x)的極大值．
(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．
思考：導數為0的點一定是極值點嗎？
[提示] 不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0, 但x＝0不是f (x)＝x3的極值點．所以，當f ′(x0)＝0時，要判斷x＝x0是否為f (x)的極值點，還要看f ′(x)在x0兩側的符號是否相反．
2．求可導函數y＝f (x)的極值的方法
解方程f ′(x)＝0.當f ′(x0)＝0時：
(1)如果在x0附近的左側f ′(x)＞0，右側f ′(x)＜0，那么f (x0)是極大值；
(2)如果在x0附近的左側f ′(x)＜0，右側f ′(x)＞0，那么f (x0)是極小值．
1．函數f (x)的定義域為R，導函數f ′(x)的圖象如圖所示，則函數f (x)( )
A．無極大值點，有四個極小值點
B．有三個極大值點，兩個極小值點
C．有兩個極大值點，兩個極小值點
D．有四個極大值點，無極小值點
C [設y＝f ′(x)的圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f (x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．]
2．函數f (x)＝－的極值點為( )
A．0 B．－1
C．0或1 D．1
D [∵f ′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f ′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又當x＞1時f ′(x)＞0,0＜x＜1時f ′(x)＜0，
∴1是f (x)的極小值點．
又x＜0時f ′(x)＜0，故x＝0不是函數的極值點．]
3．下列關于函數的極值的說法正確的是( )
A．導數值為0的點一定是函數的極值點
B．函數的極小值一定小于它的極大值
C．函數在定義域內有一個極大值和一個極小值
D．若f (x)在(a，b)內有極值，那么f (x)在(a，b)內不是單調函數
D [由極值的概念可知只有D正確．]
4．函數f (x)＝x3－3x2＋1的極小值點為________．
2 [由f ′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
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x
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(－∞，0)
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0
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(0,2)
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2
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(2，＋∞)
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f ′(x)
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＋
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0
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－
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0
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＋
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f (x)
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↗
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極大值
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↘
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極小值
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↗
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∴當x＝2時，f (x)取得極小值．]
