1.2.2 基本初等函數的導數公式及導數的運算法則(二)
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學 習 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.了解復合函數的概念(易混點).
2.理解復合函數的求導法則,并能求簡單的復合函數的導數(重點、易錯點).
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1.通過復合函數求導公式的學習,培養(yǎng)學生的數學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
2.借助復合函數求導及導數運算法則的綜合應用,提升學生的數學運算的核心素養(yǎng).
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1.復合函數的概念
一般地,對于兩個函數y=f (u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以表示成x的函數,那么稱這個函數為函數y=f (u)和u=g(x)的復合函數,記作y=f (g(x)).
思考:函數y=log2(x+1)是由哪些函數復合而成的?
[提示] 函數y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1兩個函數復合而成的.
2.復合函數的求導法則
復合函數y=f (g(x))的導數和函數y=f (u),u=g(x)的導數間的關系為y′x=y′u·u′x,即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.

1.已知函數f (x)=cos x+ln x,則f ′(1)的值為( )
A.1-sin 1 B.1+sin 1
C.sin 1-1 D.-sin 1
A [因為f ′(x)=-sin x+,
所以f ′(1)=-sin 1+=1-sin 1.故選A.]
2.函數y=的導數是( )
A.y′= B.y′=
C.y′=- D.y′=-
C [∵y=,
∴y′=-2××(3x-1)′
=-.]
3.函數y=ln(x-2)的導數是________.
[答案] y′=
4.函數y=是由________三個函數復合而成的.
[答案] y=,u=v2+1,v=sin x

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復合函數的導數
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【例1】 求下列函數的導數.
(1)y=e2x+1;(2)y=;
(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.
[解] (1)函數y=e2x+1可看作函數y=eu和u=2x+1的復合函數,
∴y′x=y′u·ux′=(eu)′(2x+1)′=2eu=2e2x+1.
(2)函數y=可看作函數y=u-3和u=2x-1的復合函數,
∴y′x=y′u·ux′=(u-3)′(2x-1)′=-6u-4
=-6(2x-1)-4=-.
(3)函數y=5log2(1-x)可看作函數y=5log2u和u=1-x的復合函數,
∴y′x=y′u·u′x=(5log2u)′·(1-x)′==.
(4)函數y=sin3x可看作函數y=u3和u=sin x的復合函數,函數y=sin 3x可看作函數y=sin v和v=3x的復合函數.
∴y′x=(u3)′·(sin x)′+(sin v)′·(3x)′
=3u2·cos x+3cos v=3sin2x cos x+3cos 3x.