第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)
1.1.1 變化率問題
1.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念
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學(xué) 習(xí) 目 標
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核 心 素 養(yǎng)
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1.通過對大量實例的分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.
2.會求函數(shù)在某一點附近的平均變化率.(重點)
3.會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù).(重點、難點)
4.理解函數(shù)的平均變化率,瞬時變化率及導(dǎo)數(shù)的概念.(易混點)
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1.通過對函數(shù)的平均變化率、瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)的概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).
2.通過求平均變化率、瞬時變化率及導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
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1.函數(shù)的平均變化率
(1)函數(shù)y=f (x)從x1到x2的平均變化率為=,其中Δx=x2-x1是相對于x1的一個“增量”,Δy=f (x2)-f (x1)=f (x1+Δx)-f (x1)是相對于f (x1)的一個“增量”.
(2)平均變化率的幾何意義

設(shè)A(x1,f (x1)),B(x2,f (x2))是曲線y=f (x)上任意不同的兩點,函數(shù)y=f (x)的平均變化率==為割線AB的斜率,如圖所示.
思考:Δx,Δy的值一定是正值嗎?平均變化率是否一定為正值?
[提示] Δx,Δy可正可負,Δy也可以為零,但Δx不能為零.平均變化率可正、可負、可為零.
2.瞬時速度與瞬時變化率
(1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
(2)函數(shù)f (x)在x=x0處的瞬時變化率是函數(shù)f (x)從x0到x0+Δx的平均變化率在Δx→0時的極限,
即 = .
3.導(dǎo)數(shù)的概念
函數(shù)y=f (x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y=f (x)在x=x0處的瞬時變化率,記作f ′(x0)或y′|,即f ′(x0)= .

1.函數(shù)y=f (x),自變量x由x0改變到x0+Δx時,函數(shù)的改變量Δy為( )
A.f (x0+Δx) B.f (x0)+Δx
C.f (x0)·Δx D.f (x0+Δx)-f (x0)
D [Δy=f (x0+Δx)-f (x0),故選D.]
2.若一質(zhì)點按規(guī)律s=8+t2運動,則在一小段時間[2,2.1]內(nèi)的平均速度是( )
A.4 B.4.1
C.0.41 D.-1.1
B [====4.1,故選B.]
3.函數(shù)f (x)=x2在x=1處的瞬時變化率是________.
2 [∵f (x)=x2.∴在x=1處的瞬時變化率是
Δx→0 =Δx→0 =Δx→0
=Δx→0 (2+Δx)=2.]
4.函數(shù)f (x)=2在x=6處的導(dǎo)數(shù)等于________.
0 [f ′(6)= = =0.]