第1章 常用邏輯用語

[鞏固層·知識整合]

[提升層·題型探究]
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四種命題的關(guān)系及其真假判斷
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【例1】 將下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題以及判斷它們的真假.
(1)當mn<0時,方程mx2-x+n=0有實數(shù)根;
(2)能被6整除的數(shù)既能被2整除,又能被3整除.
[解] (1)將命題寫成“若p,則q”的形式為:若mn<0,則方程mx2-x+n=0有實數(shù)根.
它的逆命題、否命題和逆否命題如下:
逆命題:若方程mx2-x+n=0有實數(shù)根,則mn<0.(假)
否命題:若mn≥0,則方程mx2-x+n=0沒有實數(shù)根.(假)
逆否命題:若方程mx2-x+n=0沒有實數(shù)根,則mn≥0.(真)
(2)將命題寫成“若p,則q”的形式為:若一個數(shù)能被6整除,則它能被2整除,且能被3整除,它的逆命題,否命題和逆否命題如下:
逆命題:若一個數(shù)能被2整除又能被3整除,則它能被6整除.(真)
否命題:若一個數(shù)不能被6整除,則它不能被2整除或不能被3整除.(真)
逆否命題:若一個數(shù)不能被2整除或不能被3整除,則它不能被6整除.(真)

1.在原命題、逆命題、否命題、逆否命題中,原命題與逆否命題,逆命題與否命題是等價命題,它們的真假性相同.
2.“p∧q”的否定是“
p∨
q”,“p∨q”的否定是“
p∧
q”.

1.(1)給出下列三個命題:
①“全等三角形的面積相等”的否命題;
②“若lg x2=0,則x=-1”的逆命題;
③若“x≠y或x≠-y,則|x|≠|y|”的逆否命題.
其中真命題的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B [對于①,否命題是“不全等三角形的面積不相等”,它是假命題;對于②,逆命題是“若x=-1,則lg x2=0”,它是真命題;對于③,逆否命題是“若|x|=|y|,則x=y且x=-y”,它是假命題,故選B.]
(2)命題:“若a2+b2=0,則a=0且b=0”的逆否命題是( )
A.若a2+b2=0,則a=0且b≠0
B.若a2+b2≠0,則a≠0或b≠0
C.若a=0且b=0,則a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0,則a2+b2≠0
D [命題“若a2+b2=0,則a=0且b=0”的逆否命題是:“若a≠0或b≠0,則a2+b2≠0”.故選D.]
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充分條件、必要條件與充要條件
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【例2】 (1)已知△ABC兩內(nèi)角A,B的對邊邊長分別為a,b,則“A=B”是“acos A=bcos B”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)已知直線l1:x+ay+2=0和l2:(a-2)x+3y+6a=0,則l1∥l2的充要條件是a=__________.
(1)A (2)3 [(1)由acos A=bcos B⇒sin 2A=sin 2B,
∴A=B或2A+2B=π,故選A.