1.4 全稱量詞與存在量詞
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1．理解全稱量詞與存在量詞的意義以及全稱命題和特稱命題的意義．
2．掌握全稱命題與特稱命題真假性的判定．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
3．能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))
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1．通過(guò)全稱量詞、存在量詞以及全稱命題、特稱命題相關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．
2．借助相關(guān)命題的真假判斷及由命題的真假求參數(shù)，提升學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．
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1．全稱量詞與全稱命題
(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“∀”表示．
(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，通常將含有變量x的語(yǔ)句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為∀x∈M，p(x)．
2．存在量詞與特稱命題
(1)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“∃”表示．
(2)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題，特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“∃x0∈M，p(x0)”．
思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實(shí)數(shù)解”是特稱命題還是全稱命題？請(qǐng)改寫成相應(yīng)命題的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立”是特稱命題還是全稱命題？請(qǐng)改寫成相應(yīng)命題的形式．
[提示] (1)是特稱命題，可改寫為“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0”．
(2)是全稱命題，可改寫成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．
3．含有一個(gè)量詞的命題的否定
一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：
全稱命題p：∀x∈M，p(x)，它的否定
p：∃x0∈M，p(x0)；
特稱命題p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．
全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．
1．下列命題中全稱命題的個(gè)數(shù)是( )
①任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)；
②所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；
③有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列；
④三角形的內(nèi)角和是180°．
A．0 B．1
C．2 D．3
D [命題①②含有全稱量詞，而命題④可以敘述為“每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°”，故有三個(gè)全稱命題．]
2．下列命題中特稱命題的個(gè)數(shù)是( )
①至少有一個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)；
②∃x0∈R，log2x0＞0；
③有的向量方向不確定．
A．0 B．1
C．2 D．3
D [①中含有存在量詞“至少”，所以是特稱命題；②中含有存在量詞符號(hào)“∃”，所以是特稱命題；③中含有存在量詞“有的”，所以是特稱命題．]
3．命題p：“存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根”，則“
p”形式的命題是( )
A．存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)根
B．不存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)根
C．對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)根
D．至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)根
[答案] C
4．命題“∃x0∈R，x＋x0＋1≤0”的否定是________．
[答案] ∀x∈R，x2＋x＋1>0
