1.4 全稱量詞與存在量詞
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義以及全稱命題和特稱命題的意義.
2.掌握全稱命題與特稱命題真假性的判定.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.(重點(diǎn)、易混點(diǎn))
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1.通過學(xué)習(xí)全稱命題及特稱命題的概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.借助含有一個(gè)量詞的命題的否定,提升邏輯推理素養(yǎng).
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1.全稱量詞與全稱命題
(1)短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號(hào)“∀”表示.
(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱命題,通常將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x),…表示,變量x的取值范圍用M表示,那么全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為∀x∈M,p(x).
2.存在量詞與特稱命題
(1)短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號(hào)“∃”表示.
(2)含有存在量詞的命題,叫做特稱命題,特稱命題“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“∃x0∈M,p(x0)”.
思考:(1)“一元二次方程ax2+2x+1=0有實(shí)數(shù)解”是特稱命題還是全稱命題?請(qǐng)改寫成相應(yīng)命題的形式.
(2)“不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立”是特稱命題還是全稱命題?請(qǐng)改寫成相應(yīng)命題的形式.
[提示] (1)是特稱命題,可改寫為“存在x0∈R,使ax+2x0+1=0”
(2)是全稱命題,可改寫成:“∀x∈R,(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0”.
3.含有一個(gè)量詞的命題的否定
一般地,對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題的否定,有下面的結(jié)論:
全稱命題p:∀x∈M,p(x),它的否定¬p:∃x0∈M,¬p(x0);
特稱命題p:∃x0∈M,p(x0),它的否定¬p:∀x∈M,¬p(x).
全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題.

1.命題p:“存在實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0有實(shí)數(shù)根”,則“p”形式的命題是( )
A.存在實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0無實(shí)根
B.不存在實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0無實(shí)根
C.對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,方程x2+mx+1=0無實(shí)根
D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0有實(shí)根
[答案] C
2.下列四個(gè)命題中的真命題為( )
A.∃x0∈Z,1<4x0<3
B.∃x0∈Z,5x0+1=0
C.∀x∈R,x2-1=0
D.∀x∈R,x2+x+2>0
D [當(dāng)x∈R時(shí),x2+x+2=+>0,故選D.]
3.(1)命題“有些長方形是正方形”中含有的量詞是________,該量詞是________量詞(填“全稱”或“存在”),該命題是________命題(填“全稱”或“特稱”).
(2)命題“負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)”中省略的量詞是________,這是一個(gè)________命題(填“全稱”或“特稱”).
[答案] (1)有些 存在 特稱 (2)一切(所有的等) 全稱