1.2 充分條件與必要條件
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
2.會(huì)求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.(重點(diǎn))
3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明.(難點(diǎn))
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1.通過充分條件、必要條件概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.借助充分條件,必要條件的判斷及應(yīng)用,提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).
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1.充分條件與必要條件
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命題真假
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“若p,則q”是真命題
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“若p,則q”是假命題
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推出關(guān)系
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p⇒q
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p q
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條件關(guān)系
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p是q的充分條件
q是p的必要條件
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p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
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思考1:(1)p是q的充分條件與q是p的必要條件所表示的推出關(guān)系是否相同?
(2)以下五種表述形式:①p⇒q;②p是q的充分條件;③q的充分條件是p;④q是p的必要條件;⑤p的必要條件是q.這五種表述形式等價(jià)嗎?
[提示] (1)相同,都是p⇒q.(2)等價(jià).
2.充要條件
(1)一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就記作p⇔q.此時(shí),我們說,p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱充要條件.
概括地說,如果p⇔q,那么p與q互為充要條件.
(2)若p⇒q,但q
p,則稱p是q的充分不必要條件.
(3)若q⇒p,但p
q,則稱p是q的必要不充分條件.
(4)若p
q,且q
p,則稱p是q的既不充分也不必要條件.
(5)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件
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若A⊆B,則p是q的充分條件;若A B,則p是q的充分不必要條件
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若B⊆A,則p是q的必要條件;若B A,則p是q的必要不充分條件
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若A=B,則p,q互為充要條件
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若A B且B A,則p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件
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其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
思考2:(1)若p是q的充要條件,則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題,這種說法對(duì)嗎?
(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里?
[提示] (1)正確.若p是q的充要條件,則p⇔q,即p等價(jià)于q.
(2)①p是q的充要條件說明p是條件,q是結(jié)論.
②p的充要條件是q說明q是條件,p是結(jié)論.

1.“x>0”是“>0”成立的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.既不充分也不必要條件 D.充要條件
A [當(dāng)x>0時(shí),>0成立;但當(dāng)>0時(shí),得x2>0,則x>0或x<0,此時(shí)不能得到x>0.]
2.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,c,在下列命題中,真命題是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要條件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要條件
C.“ac<bc”是“a<b”的充分條件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分條件
B [若a=b,則ac=bc;若ac=bc,則a不一定等于b,故“ac=bc”是“a=b”的必要條件.]
3.“|x-2|≤3”是“-1≤x≤5”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
C [由|x-2|≤3得-1≤x≤5,故選C.]
4.下列各題中,p是q的充要條件的是________(填序號(hào)).
①p:b=0,q:函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù);
②p:x>0,y>0,q:xy>0;
③p:a>b,q:a+c>b+c.
①③ [在①③中,p⇔q,所以①③中p是q的充要條件,在②中,q
p,所以②中p不是q的充要條件.]