1.2 充分條件與必要條件
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學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
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核 心 素 養(yǎng)
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1．結(jié)合具體實(shí)例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
2．會(huì)求(判斷)某些問(wèn)題成立的充分條件、必要條件、充要條件．(重點(diǎn))
3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明．(難點(diǎn))
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1．通過(guò)充分條件與必要條件的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的素養(yǎng)．
2．借助命題間的條件關(guān)系求參數(shù)范圍問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
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1．充分條件與必要條件
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命題真假
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“若p，則q”是真命題
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“若p，則q”是假命題
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推出關(guān)系
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p⇒q
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p q
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條件關(guān)系
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p是q的充分條件
q是p的必要條件
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p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
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思考1：(1)p是q的充分條件與q是p的必要條件所表示的推出關(guān)系是否相同？
(2)以下五種表述形式：①p⇒q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q.這五種表述形式等價(jià)嗎？
[提示] (1)相同，都是p⇒q. (2)等價(jià)
2．充要條件
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就記作p⇔q.此時(shí)，我們說(shuō)，p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件．
概括地說(shuō)，如果p⇔q，那么p與q互為充要條件．
(2)若p⇒q，但qp，則稱(chēng)p是q的充分不必要條件．
(3)若q⇒p，但pq，則稱(chēng)p是q的必要不充分條件．
(4)若pq，且qp，則稱(chēng)p是q的既不充分也不必要條件．
思考2：(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題，這種說(shuō)法對(duì)嗎？
(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？
[提示] (1)正確．若p是q的充要條件，則p⇔q，即p等價(jià)于q.
(2)①p是q的充要條件說(shuō)明p是條件，q是結(jié)論．
②p的充要條件是q說(shuō)明q是條件，p是結(jié)論．
1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
A [由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故選A．]
2．用“充分條件”和“必要條件”填空：
(1)“a>0，b>0”是“a＋b>0”的________；
(2)“tan θ＝1”是“θ＝”的________；
(3)若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的________．
(1)充分條件 (2)必要條件 (3)充分條件 [(1)∵a>0，b>0，∴a＋b>0，故“a>0，b>0”是“a＋b>0”的充分條件．
(2)∵tan θ＝1，∴θ＝＋kπ，k∈Z，故“tan θ＝1”是“θ＝”的必要條件．
(3)由題意可知p⇒q，q⇒r，∴p⇒r，即p是r的充分條件．]
3．下列各題中，p是q的充要條件的是________(填序號(hào))．
(1)p：b＝0，q：函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)；
(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
(1)(3) [在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要條件，在(2)中，q⇒p，所以(2)中p不是q的充要條件．]
