(2019·高考全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=sin x-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù),證明:
(1)f′(x)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn);
(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
【證明】 (1)設(shè)g(x)=f′(x),則g(x)=cos x-,g′(x)=-sin x+.
當(dāng)x∈時(shí),g′(x)是減少的,而g′(0)>0,g′<0,可得g′(x)在有唯一零點(diǎn),設(shè)為α.則當(dāng)x∈(-1,α)時(shí),g′(x)>0;當(dāng)x∈時(shí),g′(x)<0.
所以g(x)在(-1,α)是增加的,在是減少的,
故g(x)在存在唯一極大值點(diǎn),即f′(x)在存在唯一極大值點(diǎn).
(2)f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞).