圓錐曲線中的定點問題(師生共研)
(2020•武漢模擬)過拋物線C:y2=4x的焦點F且斜率為k的直線l交拋物線C于A,B兩點,且|AB|=8.
(1)求直線l的方程;
(2)若A關于x軸的對稱點為D,求證:直線BD過定點,并求出該點的坐標.
【解】 (1)由y2=4x知焦點F的坐標為(1,0),則直線l的方程為y=k(x-1),
代入拋物線方程y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由題意知k≠0,
且Δ=[-(2k2+4)]2-4k2•k2=16(k2+1)>0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.
由拋物線的弦長公式知|AB|=x1+x2+2=8,則2k2+4k2=6,
即k2=1,解得k=±1.