【例2】 已知a,b,c為正數(shù),求證:a+b+c≤++.
[精彩點(diǎn)撥] 不妨設(shè)a≥b≥c>0,則a2≥b2≥c2,≥≥,根據(jù)不等式的特點(diǎn),利用排序不等式證明.
[規(guī)范解答] 由于不等式關(guān)于a,b,c對(duì)稱,
可設(shè)a≥b≥c>0.于是a2≥b2≥c2,≥≥.
由排序不等式,得反序和≤亂序和,即
a2·+b2·+c2·≤a2·+b2·+c2·,
及a2·+b2·+c2·≤a2·+b2·+c2·.
以上兩個(gè)同向不等式相加再除以2,即得原不等式.
2.在△ABC中,ha,hb,hc為邊長(zhǎng)a,b,c的高,
求證:asin A+bsin B+csin C≥ha+hb+hc.
[證明] 不妨設(shè)a>b>c,則對(duì)應(yīng)的角A>B>C,
A,B,C∈(0,π),
∴sin A>sin B>sin C.
由排序原理得
asin A+bsin B+csin C≥asin B+bsin C+csin A.
在△ABC中,asin B=hc,bsin C=ha,csin A=hb,
∴asin A+bsin B+csin C≥ha+hb+hc.
有關(guān)不等式問題往往要涉及到對(duì)式子或量的范圍的限制,柯西不等式、排序不等式為我們通過不等式求最值提供了新的有力工具,但一定要注意取等號(hào)的條件能否滿足.