學(xué)習(xí)目標(biāo):1.認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式,理解其幾何意義.2.通過運(yùn)用柯西不等式解決一些簡(jiǎn)單問題.
教材整理1 柯西不等式
1.柯西不等式的代數(shù)形式:設(shè)a1,a2,b1,b2均為實(shí)數(shù),則(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2.
2.柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β為平面上的兩個(gè)向量,則|α||β|≥|α·β|.
3.柯西不等式的三角不等式:|α|+|β|≥|α+β|.
4.柯西不等式的一般形式:設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn為實(shí)數(shù),則(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥|a1b1+a2b2+…+anbn|,其中等號(hào)成立⇔==…=(當(dāng)某bj=0時(shí),認(rèn)為aj=0,j=1,2,…,n).
教材整理2 參數(shù)配方法
利用二次三項(xiàng)式的判別式證明柯西不等式的方法稱為參數(shù)配方法.
已知不等式(x+y)≥9對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為( )
A.2 B.4
C.6 D.8
[解析] 由柯西不等式可求出(x+y)≥=(1+)2,
當(dāng)x=1,y=時(shí),
(x+y)的最小值是(+1)2,
故只需(1+)2≥9,
即a≥4即可.