解簡單的指數(shù)方程與指數(shù)不等式
求滿足下列條件的x的取值范圍.
(1)3x-1>9x;
(2)a-5x>ax+7(a>0,且a≠1).
【解】 (1)因為3x-1>9x,所以3x-1>32x,
又y=3x在定義域R上是增函數(shù),
所以x-1>2x,所以x<-1.即x的取值范圍是(-∞,-1).
(2)當a>1時,因為a-5x>ax+7,所以-5x>x+7,解得x<-;
當0<a<1時,因為a-5x>ax+7,所以-5x<x+7,解得x>-.
綜上所述,當a>1時,x的取值范圍是;當0<a<1時,x的取值范圍是.
(1)指數(shù)方程的類型可分為:
①形如af(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)的方程化為f(x)=g(x)求解;
②形如a2x+b·ax+c=0(a>0,且a≠1)的方程,用換元法求解.
(2)指數(shù)不等式的類型為af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1).
①當a>1時,f(x)>g(x);
②當0<a<1時,f(x)<g(x).
含指數(shù)式的不等式的一般解法:先將不等式的兩邊化成同底的指數(shù)式,再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉底數(shù),轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式求解.