利用基本不等式證明不等式的思路
利用基本不等式證明不等式時(shí),要先觀察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征,若不能直接使用基本不等式證明,則考慮對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等,使之達(dá)到能使用基本不等式的形式;若題目中還有已知條件,則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系,當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí),要注意“1”的代換.另外,解題時(shí)要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到.
1.已知a,b都是正實(shí)數(shù),且ab=2,求證:(1+2a)(1+b)≥9.
證明:因?yàn)?i>a,b都是正實(shí)數(shù),且ab=2,
所以2a+b≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=2時(shí),等號(hào)成立.
所以(1+2a)(1+b)=1+2a+b+2ab=5+2a+b≥5+4=9.
即(1+2a)(1+b)≥9.
2.已知a,b,c>0,求證:++≥a+b+c.
證明:因?yàn)?i>a,b,c>0,所以利用基本不等式可得+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,所以+++a+b+c≥2a+2b+2c,故++≥a+b+c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立.