1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的變式
當(dāng)公比q≠1時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn=,它可以變形為Sn=-·qn+,設(shè)A=,上式可寫成Sn=-Aqn+A.由此可見,非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是由關(guān)于n的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的,而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).當(dāng)公比q=1時(shí),因?yàn)?i>a1≠0,所以Sn=na1是n的正比例函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù)).
2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
性質(zhì)一:若Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=Aqn-A(Aq≠0,q≠±1),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
性質(zhì)二:若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則
①在等比數(shù)列中,若項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*),則=q.
②Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列.
思考:在等比數(shù)列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,如何求S6的值?
[提示] S2=20,S4-S2=40,∴S6-S4=80,∴S6=S4+80=S2+40+80=140.
1.設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為-2的等比數(shù)列,則a1+|a2|+a3+|a4|=________.
15 [法一:a1+|a2|+a3+|a4|=1+|1×(-2)|+1×(-2)2+|1×(-2)3|=15.
法二:因?yàn)?i>a1+|a2|+a3+|a4|=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|,數(shù)列{|an|}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,故所求代數(shù)式的值為=15.]