1.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系
如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),故q≠1時(shí)點(diǎn)(n,an)均在函數(shù)y=a1qx-1的圖象上.
思考1:我們曾經(jīng)把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式做過如下變形:
an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
等比數(shù)列也有類似變形嗎?
[提示] 在等比數(shù)列中,由通項(xiàng)公式an=a1qn-1,得==qn-m,
所以an=amqn-m(n,m∈N*).
思考2:我們知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以變形為an=dn+a1-d,其單調(diào)性由公差的正負(fù)確定.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是否也可做類似變形?
[提示] 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q.
則an=a1qn-1=·qn,其形式類似于指數(shù)型函數(shù),但q可以為負(fù)值.由于an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1),所以{an}的單調(diào)性由a1,q,q-1的正負(fù)共同決定.
2.等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)如果m+n=k+l,則有am·an=ak·al.
(2)如果m+n=2k,則有am·an=a.
(3)在等比數(shù)列{an}中,每隔k項(xiàng)(k∈N*)取出一項(xiàng),按原