1.等差數(shù)列與一次函數(shù)
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,當(dāng)d=0時(shí),an是關(guān)于n的常函數(shù);當(dāng)d≠0時(shí),an是關(guān)于n的一次函數(shù);點(diǎn)(n,an)分布在以d為斜率的直線上,是這條直線上的一列孤立的點(diǎn).
(2)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣:在等差數(shù)列{an}中,已知a1,d,am,an(m≠n),則d==,從而有an=am+(n-m)d.
思考1:已知等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)是否可以直接求公差?
[提示] 等差數(shù)列{an}的圖象是均勻分布在一條直線上的孤立的點(diǎn),任選其中兩點(diǎn)(n,an)(m,am)(m≠n),類比直線的斜率公式可知公差d=.
2.等差中項(xiàng)
如果a,A,b這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,那么A=.我們把A=叫做a和b的等差中項(xiàng).
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq.
(2)等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性
在有窮等差數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
(3)若{an},{bn}分別是公差為d,d′的等差數(shù)列,則有
|
數(shù)列
|
結(jié)論
|
|
{c+an}
|
公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))
|
|
{c·an}
|
公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))
|