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函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系
函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo):
(1)若f′(x)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;
(2)若f′(x)<0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;
(3)若f′(x)=0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).
1.在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.
2.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.
1.(2019·許昌模擬)函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.(e,+∞) B.(1,+∞)
C.(0,e) D.(0,1)
答案 A
解析 f′(x)=,由x>0及f′(x)<0解得x>e.故選A.
2.函數(shù)f(x)=x3-ax為R上增函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件是( )
A.a(chǎn)≤0 B.a(chǎn)<0
C.a(chǎn)≥0 D.a(chǎn)>0
答案 B
解析 函數(shù)f(x)=x3-ax為R上增函數(shù)的充分必要條件是f′(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,所以a≤(3x2)min.因?yàn)?3x2)min=0,所以a≤0.而(-∞,0)⊆(-∞,0].故選B.
3.當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+的單調(diào)減區(qū)間是( )
A.(2,+∞) B.(0,2)