2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
1.函數(shù)奇偶性的四個重要結(jié)論
(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
(4)在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.周期性的三個常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a;
(2)若f(x+a)=,則T=2a;
(3)若f(x+a)=-,則T=2a(a>0).
3.對稱性的三個常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;
(2)若對于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;
(3)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),即f(-x+b)+f(x+b)=0,則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱.