利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的有關(guān)問(wèn)題
?考法1 證明不等式
【例1】 (2018·鄭州二模)已知函數(shù)f(x)=ln x-2ax+1(a∈R).
(1)討論函數(shù)g(x)=x2+f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=,證明:|f(x)-1|>+.
[解] (1)由題意知函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
g(x)=x2+ln x-2ax+1,
則g′(x)=+2x-2a=(x>0),
記h(x)=2x2-2ax+1,
①當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)?i>x>0,所以h(x)>0,故函數(shù)g(x)在(0,+∞)上遞增;
②當(dāng)0<a≤時(shí),因?yàn)?i>Δ=4(a2-2)≤0,
所以h(x)≥0,故函數(shù)g(x)在(0,+∞)上遞增;
③當(dāng)a>時(shí),由g′(x)<0,解得x∈,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間上遞減,同理可得函數(shù)g(x)在區(qū)間,上遞增.
(2)證明:當(dāng)a=時(shí),設(shè)H(x)=f(x)-1=ln x-x,
故H′(x)=,
故H′(x)<0,得x>1,由H′(x)>0,得0<x<1,