[考綱傳真] 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題(生活中的優(yōu)化問題).
1.導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
(1)如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi),函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)≥0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)是增加的;
(2)如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi),函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)≤0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)是減少的.
2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)的極大值點(diǎn)和極大值:在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都小于x0點(diǎn)的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn).其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值.
(2)函數(shù)的極小值點(diǎn)和極小值:在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都大于x0點(diǎn)的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值.
(3)極值和極值點(diǎn):極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).
(4)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:
①求f′(x).
②求方程f′(x)=0的根.
③檢查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào).如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.
3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
(1)最大值點(diǎn):函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值點(diǎn)x0指的是:函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都不超過f(x0).函數(shù)的最小值點(diǎn)也有類似的意義.