[考綱傳真] 結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù).
1.函數(shù)的零點(diǎn)
(1)定義:函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).
(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)根⇔函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)⇔函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).
(3)零點(diǎn)存在性定理
若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反,即f(a)·f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn),即相應(yīng)方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
(4)二分法:對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫作二分法.
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系
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Δ=b2-4ac
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Δ>0
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Δ=0
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Δ<0
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二次函數(shù)
y=ax2+bx+c
(a>0)的圖像
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與x軸的交點(diǎn)
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(x1,0),
(x1,0)
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(x2,0)
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無(wú)交點(diǎn)
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零點(diǎn)個(gè)數(shù)
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2
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1
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0
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1.f(a)·f(b)<0是連續(xù)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.
2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且f(x)的圖像連續(xù)不斷,則f(a)·f(b)<0⇒函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個(gè)零點(diǎn).
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn). ( )
(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷),則f(a)·f(b)<0.