[考綱傳真] 1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義;2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性;3.了解函數(shù)周期性、正周期的含義, 會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.
1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念
圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù);
圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫作偶函數(shù).
2.判斷函數(shù)的奇偶性
判斷函數(shù)的奇偶性,一般按照定義嚴(yán)格進(jìn)行,一般步驟是
(1)考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
(2)考察表達(dá)式f(x)是否與f(x)或-f(x)相等.
①若f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù);
②若f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù);
③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);
④若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
3.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.
[常用結(jié)論]
1.函數(shù)奇偶性的三個(gè)重要結(jié)論
(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.