數(shù)學(xué)歸納法
一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1,2等)時(shí)結(jié)論成立;
(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.
[小題體驗(yàn)]
1.若f(n)=1+++…+(n∈N*),則f(1)=________.
解析:等式右邊的分母是從1開始的連續(xù)的自然數(shù),且最大分母為6n-1,則當(dāng)n=1時(shí),最大分母為5.
答案:1++++
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”.當(dāng)驗(yàn)證n=1時(shí),上式左端計(jì)算所得為________.
答案:1+a+a2
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=時(shí),當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上__________________.
答案:(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1.
2.推證n=k+1時(shí)一定要用上n=k時(shí)的假設(shè),否則不是數(shù)學(xué)歸納法.
3.解“歸納——猜想——證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng),這是歸納、猜想的基礎(chǔ).否則將會(huì)做大量無用功.