1.函數(shù)的極值 (1)函數(shù)的極小值:
函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,f′(a)=0;而且在點x=a附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,則點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.
(2)函數(shù)的極大值:
函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近的其他點的函數(shù)值都大,f′(b)=0;而且在點x=b附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,則點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.
極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.
2.函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.
(2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.
[小題體驗]
1.當(dāng)x=________時,函數(shù)f(x)=x·2x取極小值.
答案:-
2.已知函數(shù)f(x)=x-sin x,則f(x)在[0,π]上的值域為________.
答案:
3.已知a為函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點,則a=________.
解析:由題意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,所以當(dāng)x<-2或x>2時,f′(x)>0;當(dāng)-2<x<2時,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,-2)上為增函數(shù),在(-2,2)上為減函數(shù),在(2,+∞)上為增函數(shù).所以f(x)在x=2處取得極小值,所以a=2.
答案:2