1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.
(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b.
2.幾個重要的不等式
(1)a2+b2≥ 2ab(a,b∈R);(2)+≥(a,b同號);
(3)ab≤2(a,b∈R);(4)2≤(a,b∈R).
3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
4.利用基本不等式求最值問題
已知x>0,y>0,則
(1)如果xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,x+y有最小值是2(簡記:積定和最小).
(2)如果x+y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,xy有最大值是(簡記:和定積最大).
[小題體驗]
1.(2019·南京調(diào)研)已知m,n均為正實數(shù),且m+2n=1,則mn的最大值為________.
解析:∵m+2n=1,∴m·2n≤2=,即mn≤,當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=時,mn取得最大值.
答案:
2.若實數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為________.
解析:x2+2y2=x2+(y)2≥2x(y)=2,