1.橢圓的定義
平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.兩定點(diǎn)F1,F2叫做橢圓的焦點(diǎn).
集合P={M|MF1+MF2=2a},F1F2=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù).
(1)當(dāng)2a>F1F2時,P點(diǎn)的軌跡是橢圓;
(2)當(dāng)2a=F1F2時,P點(diǎn)的軌跡是線段;
(3)當(dāng)2a<F1F2時,P點(diǎn)不存在.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
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標(biāo)準(zhǔn)方程
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+=1(a>b>0)
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+=1(a>b>0)
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圖形
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性質(zhì)
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范圍
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x∈[-a,a],y∈[-b,b]
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x∈[-b,b],y∈[-a,a]
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對稱性
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對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點(diǎn)
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頂點(diǎn)
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A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
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A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
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離心率
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e=,且e∈(0,1)
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a,b,c的關(guān)系
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c2=a2-b2
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[小題體驗]
1.已知橢圓+=1的兩焦點(diǎn)為F1,F2,過F1作直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),則△ABF2的周長為________.
答案:12
2.已知直線x-2y+2=0過橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn),則橢圓的方程為________.
解析:直線x-2y+2=0與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),即為橢圓的左焦點(diǎn),故c=2.
直線x-2y+2=0與y軸的交點(diǎn)為(0,1),即為橢圓的頂點(diǎn),故b=1,所以a2=b2+c2=5,故橢圓的方程為+y2=1.