直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時,通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程.
即消去y,得ax2+bx+c=0.
(1)當(dāng)a≠0時,設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式為Δ,則Δ>0⇔直線與圓錐曲線C相交;
Δ=0⇔直線與圓錐曲線C相切;
Δ<0⇔直線與圓錐曲線C相離.
(2)當(dāng)a=0,b≠0時,即得到一個一次方程,則直線l與圓錐曲線C相交,且只有一個交點(diǎn),此時,
若C為雙曲線,則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行;
若C為拋物線,則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.
[小題體驗(yàn)]
1.若直線y=kx與雙曲線-=1相交,則k的取值范圍是________.
解析:雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x,若直線y=kx與雙曲線相交,數(shù)形結(jié)合得k∈.
答案:
2.已知橢圓C:+=1(a>b>0),F(,0)為其右焦點(diǎn),過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2,則橢圓C的方程為________.
解析:由題意得解得