1.空間向量及其有關(guān)概念
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概念
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語言描述
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共線向量(平行向量)
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表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合
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共面向量
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平行于同一個(gè)平面的向量
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共線向量定理
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對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb
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共面向量定理
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若兩個(gè)向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面⇔存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb
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空間向量基本定理
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定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得p=xa+yb+zc
推論:設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn),則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z,使=x+y+z且x+y+z=1
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2.?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算
(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積:
①a·b=|a||b|cos〈a,b〉;
②a⊥b⇔a·b=0(a,b為非零向量);
③|a|2=a2,|a|=.
(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算:
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a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
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向量和
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a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
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向量差
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a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
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數(shù)量積
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a·b=a1b1+a2b2+a3b3
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共線
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a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
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垂直
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a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0
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夾角公式
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cos〈a,b〉=
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[小題體驗(yàn)]
1.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,則|b|=________.
答案:2
2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,則實(shí)數(shù)λ=________.