[命題解讀] 立體幾何是高考的重要內(nèi)容,從近五年全國(guó)卷高考試題來看,立體幾何每年必考一道解答題,難度中等,主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式,即首先利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直,再利用空間向量進(jìn)行空間角的計(jì)算,考查的熱點(diǎn)是平行與垂直的證明、二面角的計(jì)算,平面圖形的翻折,探索存在性問題,突出三大能力:空間想象能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力與兩大數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查.
空間的平行與垂直及空間角的計(jì)算
空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系通常考查平行、垂直關(guān)系的證明,一般出現(xiàn)在解答題的第(1)問,解答題的第(2)問常考查求空間角,一般都可以建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【例1】 (2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點(diǎn).
(1)證明:直線CE∥平面PAB;
(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD的夾角為45°,求二面角MABD的余弦值.
[解] (1)證明:如圖,取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.
因?yàn)?i>E是PD的中點(diǎn),
所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°,得BC∥AD.
又BC=AD,所以EF綊BC,
四邊形BCEF是平行四邊形,所以CE∥BF.
又BF平面PAB,CE平面PAB,
故CE∥平面PAB.