[命題解讀] 全國(guó)卷中的數(shù)列與三角基本上是交替考查,難度不大,題目多為常規(guī)題.從五年全國(guó)卷高考試題來(lái)看,本專題的熱點(diǎn)題型有:一是等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算;二是等差、等比數(shù)列的判定與證明;三是數(shù)列的求和問(wèn)題(以裂項(xiàng)求和為主),難度中等.
等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算
等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算主要涉及兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式,求解的關(guān)鍵是充分借助方程思想,代數(shù)列的通項(xiàng)或求和問(wèn)題為公差d(或公比q)及首項(xiàng)a1的方程求解問(wèn)題.
【例1】 (2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若T3=21,求S3.
[解] 設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,
則an=-1+(n-1)·d,bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②
聯(lián)立①和②解得(舍去),
因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.
解得q=-5或q=4.
當(dāng)q=-5時(shí),由①得d=8,則S3=21.
當(dāng)q=4時(shí),由①得d=-1,則S3=-6.
[規(guī)律方法] 在求解數(shù)列基本量問(wèn)題中主要使用的是方程思想,要注意公式使用時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性,更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí),要注意運(yùn)用整體代換思想,使運(yùn)算更加便捷.
(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求ea1+ea2+…+ean.