[命題解讀] 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具,因此,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),常涉及的問題有:討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)、求極值、求最值、求切線方程、求函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根、求參數(shù)的范圍、證明不等式等,涉及的數(shù)學(xué)思想有:函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等,中、高檔難度均有.
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等是高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)之一,主要有以下命題角度:
(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值;
(2)利用單調(diào)性、極值、最值求參數(shù)的取值范圍.
【例1】 (2015·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍.
[解] (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上遞增.
若a>0,則當(dāng)x∈時,f′(x)>0;當(dāng)x∈時,f′(x)<0.所以f(x)在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.
(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上無最大值;當(dāng)a>0時,f(x)在x=處取得最大值,
最大值為f=ln +a=-ln a+a-1.