[考綱傳真] 1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關系的思想方法;2.了解圓錐曲線的簡單應用;3.理解數形結合的思想.
定點問題
【例1】 已知橢圓E:+=1(b>0)的一個焦點與拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點F相同,如圖,作直線AF與x軸垂直,與拋物線在第一象限交于A點,與橢圓E相交于C,D兩點,且|CD|=.
(1)求拋物線Γ的標準方程;
(2)設直線l不經過A點且與拋物線Γ相交于N,M兩點,若直線AN,AM的斜率之積為1,證明l過定點.
[解] (1)由橢圓E:+=1(b>0),得b2=9-c2,
由題可知F(c,0),p=2c,
把x=c代入橢圓E的方程,得y=b2,
∴yC=.
∴|CD|==,解得c=2.