[考綱傳真] 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題,了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.
1.異面直線所成的角
設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則
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a與b的夾角〈a,b〉
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l1與l2所成的角θ
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范圍
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0<〈a,b〉<π
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0<θ≤
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關(guān)系
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cos〈a,b〉=
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cos θ=|cos〈a,b〉|=
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2.直線與平面所成的角
設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,則sin θ=|cos〈a,n〉|=.
3.二面角
(1)如圖①,AB,CD是二面角αlβ的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=〈,〉.
(2)如圖②③,n1,n2分別是二面角αlβ的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).
[常用結(jié)論]
點(diǎn)到平面的距離
如圖所示,已知AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則B到平面α的距離為||=.