[考綱傳真] 1.了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.
1.空間向量的有關(guān)概念
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名稱
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定義
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空間向量
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在空間中,具有大小和方向的量
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相等向量
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方向相同且模相等的向量
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相反向量
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方向相反且模相等的向量
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共線向量(或平行向量)
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表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
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共面向量
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平行于同一個(gè)平面的向量
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2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理:對空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb.
(2)共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.
(3)空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底.
3.兩個(gè)向量的數(shù)量積
(1)非零向量a,b的數(shù)量積a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律:
①結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b);
②交換律:a·b=b·a;
③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用