[考綱傳真] 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn).2.了解間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過程和特點(diǎn).3.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.4.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.
1.直接證明
(1)綜合法
定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法.
(2)分析法
定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止的證明方法.
2.間接證明——反證法
一般地,假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.
3.?dāng)?shù)學(xué)歸納法
一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:
(1)歸納奠基:證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立;
(2)歸納遞推:假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.
只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.
[常用結(jié)論] 利用歸納假設(shè)的技巧
在推證n=k+1時(shí),可以通過湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè).此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo),又要掌握n=k與n=k+1之間的關(guān)系.在推證時(shí),分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用.
[基礎(chǔ)自測]