1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.
(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b.
2.幾個(gè)重要的不等式
(1)a2+b2≥ 2ab(a,b∈R);(2)+≥(a,b同號(hào));
(3)ab≤2(a,b∈R);(4)2≤(a,b∈R).
3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
4.利用基本不等式求最值問題
已知x>0,y>0,則
(1)如果xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是2(簡(jiǎn)記:積定和最小).
(2)如果x+y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值是(簡(jiǎn)記:和定積最大).
[小題體驗(yàn)]
1.(2019·南京調(diào)研)已知m,n均為正實(shí)數(shù),且m+2n=1,則mn的最大值為________.
解析:∵m+2n=1,∴m·2n≤2=,即mn≤,當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=時(shí),mn取得最大值.
答案:
2.若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為________.
解析:x2+2y2=x2+(y)2≥2x(y)=2,
所以x2+2y2的最小值為2.
答案:2
3.若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地,則矩形場(chǎng)地的最大面積是________m2.