1.向量的夾角
(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB就是向量a與b的夾角.
(2)范圍:設(shè)θ是向量a與b的夾角,則0°≤θ≤180°.
(3)共線(xiàn)與垂直:若θ=0°,則a與b同向;若θ=180°,則a與b反向;若θ=90°,則a與b垂直.
2.平面向量的數(shù)量積
(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0·a=0.
(2)幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b| cos θ的乘積.
[提醒] (1)數(shù)量積a·b也等于b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上的投影|a|cos θ的乘積,這兩個(gè)投影是不同的.
(2)a在b方向上的投影也可以寫(xiě)成,投影是一個(gè)數(shù)量,可正可負(fù)也可為0,它的符號(hào)取決于θ角的范圍.
3.向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,e是單位向量,α是a與e的夾角,于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì):
(1)e·a=a·e=|a||e|cos α=|a|cos α.
(2)a⊥b⇔a·b=0.
(3)a,b同向⇔a·b=|a||b|;
a,b反向⇔a·b=-|a||b|.
特別地a·a=|a|2=a2或|a|=.
(4)若θ為a,b的夾角,則cos θ=.
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;
a2-b2=(a+b)(a-b).
以上結(jié)論可作為公式使用.