利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn),一般為解答題的第一問(wèn),若不含參數(shù),難度一般,若含參數(shù),則較難.
常見(jiàn)的考法有:(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.(3)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù).
考法一 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
[例1] (2018·湘東五校聯(lián)考節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=(ln x-k-1)x(k∈R).當(dāng)x>1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
[解] f′(x)=·x+ln x-k-1=ln x-k,
①當(dāng)k≤0時(shí),因?yàn)?/span>x>1,所以f′(x)=ln x-k>0,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.
②當(dāng)k>0時(shí),令ln x-k=0,解得x=ek,
當(dāng)1<xk時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>ek時(shí),f′(x)>0.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,ek),單調(diào)遞增區(qū)間是(ek,+∞).
綜上所述,當(dāng)k≤0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,ek),單調(diào)遞增區(qū)間是(ek,+∞).
[方法技巧]
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法
(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí),解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間.
(2)當(dāng)方程f′(x)=0可解時(shí),解出方程的實(shí)根,依照實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間,確定各區(qū)間f′(x)的符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間.
(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解,根據(jù)f′(x)結(jié)構(gòu)特征,利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間.
[針對(duì)訓(xùn)練]
(2019·湖南、江西十四校聯(lián)考)已知f(x)=(x2-ax)ln x-x2+2ax,求f(x)的單調(diào) 遞減區(qū)間.
解:易得f(x)的定義域?yàn)?/span>(0,+∞),