以抽象函數(shù)為背景、題設(shè)條件或所求結(jié)論中具有“f(x)±g(x),f(x)g(x),”等特征式、旨在考查導(dǎo)數(shù)運算法則的逆向、變形應(yīng)用能力的客觀題,是近幾年高考試卷中的一位“常客”,常以壓軸題的形式出現(xiàn),解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導(dǎo)數(shù)運算法則結(jié)合起來,合理構(gòu)造出相關(guān)的可導(dǎo)函數(shù),然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問題.
類型一 構(gòu)造y=f(x)±g(x)型可導(dǎo)函數(shù)
[例1] 設(shè)奇函數(shù)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x>0時有f′(x)+cos x<0,則當(dāng)x≤0時,有( )
A.f(x)+sin x≥f(0) B.f(x)+sin x≤f(0)
C.f(x)-sin x≥f(0) D.f(x)-sin x≤f(0)
[解析] 觀察條件中“f′(x)+cos x”與選項中的式子“f(x)+sin x”,發(fā)現(xiàn)二者之間是導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系,于是不妨令F(x)=f(x)+sin x,因為當(dāng)x>0時,f′(x)+cos x<0,即F′(x)<0,所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又F(-x)=f(-x)+sin(-x)=-[f(x)+sin x]=-F(x),所以F(x)是R上的奇函數(shù),且F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減, F(0)=0,并且當(dāng)x≤0時有F(x)≥F(0),即f(x)+sin x≥f(0)+sin 0=f(0),故選A.
[答案] A
[題后悟通]
當(dāng)題設(shè)條件中存在或通過變形出現(xiàn)特征式“f′(x)±g′(x)”時,不妨聯(lián)想、逆用“f′(x)±g′(x)=[f(x)±g(x)]′”.構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)±g(x),然后利用該函數(shù)的性質(zhì)巧妙地解決問題.
類型二 構(gòu)造f(x)·g(x)型可導(dǎo)函數(shù)