圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一般是指與解析幾何有關(guān)的直線或圓過定點(diǎn)的問題(其他曲線過定點(diǎn)太復(fù)雜,高中階段一般不涉及),其實(shí)質(zhì)是:當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓變化時(shí),這些直線或圓相交于一點(diǎn),即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng).這類問題的求解一般可分為以下三步:
一選:選擇變量,定點(diǎn)問題中的定點(diǎn),隨某一個(gè)量的變化而固定,可選擇這個(gè)量為變量(有時(shí)可選擇兩個(gè)變量,如點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、截距等,然后利用其他輔助條件消去其中之一).
二求:求出定點(diǎn)所滿足的方程,即把需要證明為定點(diǎn)的問題表示成關(guān)于上述變量的方程.
三定點(diǎn):對(duì)上述方程進(jìn)行必要的化簡(jiǎn),即可得到定點(diǎn)坐標(biāo).
[典例] (2019·成都一診)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(,0),長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)與短半軸的長(zhǎng)的比值為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上,證明直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
[解] (1)由題意得,c=,=2,a2=b2+c2,
∴a=2,b=1,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠1),M(x1,y1),N(x2,y2).
聯(lián)立,得消去y可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
∴Δ=16(4k2+1-m2)>0,x1+x2=,x1x2=.
∵點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上,
∴·=0.
∵·=(x1,kx1+m-1)·(x2,kx2+m-1)=(k2+1)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=0,
∴(k2+1)+k(m-1)+(m-1)2=0,